Permütasyon Soruları ve Cevapları

SORU 1:
5 Fizik,4 Matematik ve 2 Türkçe kitabı, bir kitaplığın rafına yanyana sıralanacaktır.
Aynı dersten olan kitaplar yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir ?
ÇÖZÜM 1:
Fizik kitapları kendi aralarında 5! farklı şekilde.
Matematik kitapları kendi aralarında 4! farklı şekilde.
Türkçe kitapları kendi aralarında 2! farklı şekilde.
3 kitap kendi arasında 3! şekilde sıralanır.
4!.5!.2!.3! farklı şekilde dizilebilir.
SORU 2:
A={a,b,c,d,e,f}
kümesinin 3′lü permütasyonlarının kaç tanesinde a elemanı bulunur ?
ÇÖZÜM 2:
6 elemanlı kümenin 3 elemanlı permütasyonlarının sayısı;
P(6,3)=6!/(6-3)!=120
a’nın eleman olarak bulunmadığı 3′lü permütasyon sayısı,
P(5,3)=5!/(5-3)!=60
O halde a kümesinin 3 lü permütasyonlarının
120-60=60
tanesinde a eleman olarak bulunur.
SORU 3:
Farklı, 2 matematik, 3 fizik, 4 kimya kitabı bir rafa sıralanacaktır. Sıralama kaç farklı şekilde yapılır ?
ÇÖZÜM 3:
Toplam 9 kitap var.
1. sıraya 9
2. sıraya 8
3. sıraya 7
.
.
9. sıraya 1 farklı şekilde kitaplar yerleştirilir.
o halde 9.8.7….1=9! şekilde sıralanırlar.
SORU 4:
2233444 sayısının rakamları yer değiştirilerek kaç farklı yedi basamaklı sayı yazılır ?
ÇÖZÜM 4:
Tekrarlı permütasyondan çözebiliriz.
7!/(2!.2!.3!)=210 olarak bulunur.
SORU 5:
A={a,b,c,d,e}
kümesinin üçlü permütasyonlarının kaçında a veya b bulunur. ?
ÇÖZÜM 5:
A kümesinin elemanları arasından a ve b yi ayırırsak kalan elemanlardan oluşturacağımız 3′lü permütasyonlar
P(3,3)=6 olur.
Buna göre 5 elemanlı A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin tamamından a ve b nin bulunmadığı durumu çıkartırsak soruda istenen şartı sağlarız.
P(5,3)-P(3,3)=60-6=54 olur.
SORU 6:
3 farklı oyuncak 7 çocuğa, her çocukta en fazla bir oyuncak olması koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir ?
ÇÖZÜM 6:
Birinci oyuncak 7. çocuğa 7 farklı şekilde
Birinci oyuncak 6. çocuğa 6 farklı şekilde
Birinci oyuncak 5. çocuğa 5 farklı şekilde
Buna göre 3 farklı oyuncak 7 çocuğa her çocuğa en fazla bir oyunca vermek koşulu ile
7.6.5=210 farklı şekilde dağıtılır.
SORU 7:
Farklı, 2 matematik, 3 fizik, 4 kimya kitabı bir rafa sıralanacaktır. Sıralama kaç farklı şekilde yapılır ?
ÇÖZÜM 7:
Toplam 9 kitap var.
1. sıraya 9
2. sıraya 8
3. sıraya 7
.
.
9. sıraya 1 farklı şekilde kitaplar yerleştirilir.
o halde 9.8.7….1=9! şekilde sıralanırlar.
SORU 8:
40 soruluk bir sınavda seçenek sayısı 4′tür. Art arda gelen iki sorunun cevap seçeneğinin aynı olmaması şartıyla kaç farklı cevap anahtarı yazılabilir ?
ÇÖZÜM 8:
Birinci sorunun cevabı için 4 seçenek vardır. Ancak ikinci soru için 3 seçenek olur çünkü ardışık iki sorunun cevabı aynı olmayacak
o halde
1. soru için 4
2. soru için 3
3. soru için 3
4. soru için 3
.
.
40.soru için 3 farklı cevap anahtarı yazılır.
=4.339 bulunur.
SORU 9:
4.P(n,2)=P(n,3) olduğuna göre n kaçtır ?
ÇÖZÜM 9:
4n.(n-1)=n(n-1).(n-2)
4=n-2=> n=6 bulunur.
SORU 10:
3 farklı pantolon,4 farklı ceket ve 5 farklı gömleği olan bir kişi bir pantolon, bir ceket ve bir gömleği kaç farklı şekilde giyebilir ?
ÇÖZÜM 10:
Bir pantolon için 3 farklı seçenek
Bir ceket için 4 farklı seçenek
Bir gömlek için 5 farklı seçenek
Bu üç olay birlikte gerçekleştiği için 3.4.5=60 bulunur.
SORU 11:
A,B ve C kentleri için A dan B’ye , B den C’ye 4 farklı yol bulunmaktadır. B ye uğramak koşuluyla A dan C ye gitmek isteyen kişi kaç farklı yol kullanabilir ?
ÇÖZÜM 11:
A’dan B ye 2 yol
B den C ye 4 yol olduğundan
2.4=8 farklı yol kullanılabilir.
SORU 12:
3,4,5,6 rakamlarıyla kaç tane 4 basamaklı doğal sayı yazılır ?
ÇÖZÜM 12:
abcd 4 basamaklı sayımız olsun
a yerine gelebilecek sayı 4 farklı şekilde
b yerine gelebilecek sayı 4 farklı şekilde
c yerine gelebilecek sayı 4 farklı şekilde
d yerine gelebilecek sayı 4 farklı şekilde seçilebilir.
O halde hepsi birden istendiği için 4.4.4.4=256 tane sayı yazılabilir.
Soru13 : Bir torbadaki özdeş topların 11i kırmızı 8i beyaz 8u mavi ve 12’si siyahtır. En az kaç top çıkarılırsa torbada kalan topların renklerine göre çekilme olasılıkları eşit olur ?
A) 7
B ) 8
C) 9
D) 10
Çözüm : Hepsinin aynı renk olması için en az olan renk yapmaya çalışırız .
Kırmızı 11 tane 3 eksiltiriz.
Beyaz 8 tane değişme olmaz.
Mavi 9 tane 1 eksiltiriz .
Siyah 12 tane 4 eksiltiriz .
Toplam 3+1+4= 8 eksiltmeliyiz
Doğru cevap B şıkkı .






SORU 19 : Bir çember etrafına 5 tane nokta işaretleniyor.Bu noktalardan geçen kaç tane kiriş çizilebilir?
Çözüm
5 noktayı işaretleyelim.Şimdi bu 5 noktadan 2 tanesini seçmemiz bir tane kiriş oluşturmamız anlamına gelir.C(5,2) = 5.4/2 = 10 tane kiriş oluşturulabilir.
Soru 20
8 kişi belli üç kişi yanyana olmak üzere yuvarlak bir masa etrafına kaç farklı şekilde oturabilirler?
Çözüm
1.Yol
Bu 3 kişiyi tek kişi gibi kabul edelim toplamda 6kişinin varlığından bahsedelim.
6kişi 5! kadar dizilir.Ayrıca bu 3 kişide kendi aralarında 3! kadar dizilirler.
5!.3! kadar dizilim olur.
Soru 21
6 kişi belli iki kişi birbirinin tam karşısında olacak şekilde yuvarlak bir masa etrafına kaç farklı şekilde dizilebilirler?
1.Yol
Bu iki kişiyi dizelim.(Birbirinin tam karşısında olacak şekilde.) 1! kadar dizilirler.
Geri kalan 4 kişiyi de dizelim 4! şekilde 4!.1! = 24 farklı dizilim olur.
2.Yol
İlk önce geriye kalan 4 kişiyi dizelim ilk önce. 3! kadar dizilirler.
Bu 4 kişi dizildikten sonra geriye 4 tane boşluk kalır.Bu 4 boşluktan bir tanesini seçip birini oturtur karşısına da eşini oturturuz.
C(4,1).3! = 24 dizilim olur.
Soru 22
8 kişi kare şeklindeki bir masaya her kenarda 2 kişi olacak şekilde kaç farklı biçimde oturur?
Çözüm
Bu 8 kişi kare etrafında kendi aralarında 8! kadar yer değiştirirler.
Yalnız deneyerek bakarsak yapacağımız dizilimlerin 4 tanesi hep aynı olur.
O halde 8!/4 kadar dizilim vardır.
Soru 23
6 kişiden 5’i 1 kişinin etrafına kaç farklı şekilde dizilir?
Çözüm 6 kişiden birini seçelim ortaya koyalım.
C(6,1) = 6 farklı şekilde seçilir.
Geri kalan 5 kişiyi etrafına (dairesel) dizelim 4! kadar dizilirler.
4!.6 kadar dizilim olur.

SORU 24: 4 kız, 3 erkekten oluşan bir arkadaş grubundan rastgele 2 kişi seçiliyor.
a) Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır ?
b) A olayı seçilen iki kişinin de erkek olması ise A nın eleman sayısı kaçtır ?
c) B olayı seçilen iki kişinin de kız olması ise B’nin eleman sayısı kaçtır ?
d) C olayı seçilen iki kişiden birinin kız, diğerinin erkek olması ise C’nin eleman sayısı kaçtır ?
ÇÖZÜM
a) Toplam 7 kişide 2’si C(7,2)=7.6/2=21 şekilde seçilir. s(E)=21’dir
b) 3 erkekten ikisi C(3,2)=3 şeklinde seçilir. s(A)=3
c) 4 kızdan ikisi C(4,2)=6 şeklinde seçilir. s(B )=6
d) 3 erkekten biri C(3,1)=3, 4 kızdan biri C(4,1)=4
şeklinde seçilir. Çarpım yoluyla saymaya göre 4.3=12=s(C)’dir.
SORU 25 : 40 kişilik bir basketbol grubunda basket oynayanların sayısı 21, Tenis oynayanların sayısı da 12 dir.
8 kişi her ikisini de oynadığına göre, bu gruptan rastgele seçilen birinin basketbol veya tenis oynama olasılığı kaçtır ?
ÇÖZÜM
21 kişi basket oynuyorsa:P(B )=21/40

12 kişi tenis oynuyorsa: P(T)=12/40
8 kişi ise her ikisini oynuyorsa P(B∩T)=8/40
o halde seçilen birinin basketbol veya tenis oynama olasılığı:
P(BUT)=P(B )+P(T)-P(B∩T)=21/40+12/40-8/40=5/8
SORU 26: 5 matematik öğretmeni, 4 fizik öğretmeni olmak üzere 9 öğretmen arasından 4 kişi seçilecektir.
2 matematik öğretmeni, 2 fizik öğretmeni seçilmesi olayı kaç elemanlıdır ?
ÇÖZÜM
Olay s(A) ise
s(A)=C(5,2).C(4,2) =10.6 =60 bulunur.
SORU 27 :Bir madeni para 5 kez havaya atılıyor.3 yazı, 2 tura
gelmesi olasılığı kaçtır ?
ÇÖZÜM
örnek uzayın eleman sayısı
s(E)=2⁵=32
3 yazı 2 tura gelme olasılığı Y,Y,Y,T,T nin farklı sıralanışının sayısıdır.
o halde olaya A dersek
s(A)=5!/(3!.2!)=120/12=10 olur.
3 yazı 2 tura gelme olayının olasılığı
P(A)=s(A)/s(E) =10/32 =5/16 bulunur.
——————————————————————————–
SORU 28 : MAKARNA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilen 7 harfli kelimelerden biri seçiliyor.
Seçilen kelimenin M ile başlama olasılı kaçtır ?
ÇÖZÜM
MAKARNA kelimesinin harfleri yerleri değiştirilerek
7!/3!=7.6.5.4.3!/3!=840 farklı kelime yazabileceğimizden bu uzayın eleman sayısı s(E)=840 olur.
M ile başlayan kelimelerin kümesine B dersek,
s(B )=6!/3!=120 olur.
Seçilen kelimenin M ile başlama olasılığı
P(B )=s(B )/s(E)=120/840=1/7
—————————————————————————
SORU 29 : Bir dosyada 10 pembe, 6 beyaz, 5 sarı kağıt vardır.
Dosyadan rastgele seçilen bir kağıdın pembe veya sarı olma olasılığı kaçtır ?
ÇÖZÜM
Toplamda 10+6+5=21 kağıt var.
Pembe ve Sarı kağıtların toplamı 10+5=15 olduğundan olasılık;
15/21=5/7 bulunur.
SORU 30: İçinde 3 beyaz, 6 yeşil top bulunan bir torbadan rastgele seçilen 3 toptan ikisinin aynı diğerinin farklı renkte olma olasılığı kaçtır ?
ÇÖZÜM
Toplam 9 top arasından 3’ü rastgele
C(9,3)=9.8.7/3.2.1=84 farklı şekilde seçilir.
3 beyaz, 6 yeşil toptan 2 beyaz 1 yeşil top
C(3,2).C(6,1)=18
1 beyaz 2 yeşit top
C(3,1).C(6,2)=45
seçilen üç toptan ikisinin aynı birinin farklı olma olasılığıi
P(A)=(18+45)/84=3/4 bulunur.
SORU 31 : 6 kız ve 4 erkek öğrenci arasondan 3 öğrenci seçiliyor.
Seçilenlerden en az birinin erkek olma olasılığı kaçtır ?
ÇÖZÜM
C(10,8 )=120 olduğundan s(E)=120’dir.
Seçilenler arasında en az bir erkeğin olduğu olay E olsun. Oluşabilecek tüm üçlü gruplardan üçünün de kız olduğu grupların sayısı çıkarılırsa en az bir erkek öğrencinin bulunduğu üçlü grup sayısı bulunur.
s(B )=C(10,8 )-C(6,3)=120-20=100 olur.
B olayının olasılığı
P(B )=P(B )/P(E)
=100/120=5/6 bulunur.
SORU 32:5 evli çiftin olduğu 10 kişilik bir gruptan 2 kişi seçilecektir.
seçilen iki kişinin evli çift olma olasılığı kaçtır ?
ÇÖZÜM
C(10,2)=45 olduğundan s(E)=45’tir.
Seçilen iki kişinin evli olduğu olaya Ç dersek, 5 evli çift olduğundan s(Ç)=5’tir.
Seçilen iki kişinin evli çift olma olasılığı
P(Ç)=5/45=1/9 bulunur.
SORU 33 : Bir torbada 12 bilyeden 4’ü mavi, 3’ü sarı ve 5’i kırmızıdır. Bu torbadan aynı anda 3 bilye seçiliyor.
Seçilen bilyelerinin üçününde aynı renk olduğu bilindiğine göre, üçününde kırmızı olma olasılığı nedir ?
ÇÖZÜM
C(12,3)=220 ise S(E)=220’dir.
seçilen 3 bilyenin aynı renk olması olasılığına B diyelim
s(B )=C(5,3)+C(4,3)+C(3,3) =10+4+1=15 olur.
Seçilen üç bilyenin kırmızı olma olayı A ise
S(A)=C(5,3)=10
A kümesinin elemanları aynı zamanda B kümesinin elemanı olduğundan
s(A∩B )=10
P(A/B )=P(A∩B )/P(B )=(10/220)/(15/220)=2/3 bulunur.
SORU 34 : Birbirinden farklı 3 cam, 4 plastik bardak bir rafa dizilecektir.
Cam bardakların yan yana olma olasılığı kaçtır ?
ÇÖZÜM
7 bardak 7! şekilde sıralanır.
Cam bardaklar yan yana 3!.5! şeklinde sıralanır.
Cam bardakların yan yana gelme olasılığı
P(A)=5!.3!/7!=1/7 bulunur.
SORU 35: Bir mağazada 8 gri, 12 siyah pantolon 9 lacivert pantolon vardır.
Mağazadan alınan 1 pantolon ve 1 gömleğin gri olma olasılığı nedir ?
ÇÖZÜM
Pantolonun gri olma olasılığı P(A)=8/20=2/5
Kravatın gri olma olasılığı P(B )=5/14
Her ikisinin de gri olma olasılığı
P(A).P(B )=2/5*5/14=1/7 bulunur.
SORU 36: Bir vazoda 8 tane kırmızı, x tane beyaz karanfil vardır.
Bu vazodan seçilen bir karanfilin beyaz olma olasılığı 3/5 olduğuna göre, x kaçtır ?
ÇÖZÜM
P(A)=x/(x+8 )=3/5 ise 5x=3x+24
x=12 bulunur.
SORU 37: A={0,1,2,3,4,5,6}
kümesinden seçilen iki farklı sayının tek sayı olma olasığı nedir ?
ÇÖZÜM
C(7,2)=21 ise S(E)=21
Toplamın tek sayı olması için T+Ç olması gerek,
s(B )=C(4,1).C(3,1)=12
P(B )=s(B )/s(E) =12/21=4/7 bulunur.
SORU 38: 3 yüzü sarı, 2 yüzü mor, 1 yüzü lacivert olan bir zar ardarda 2 kez atılıyor.
İkisininde üst yüzüne sarı gelme olasılığı nedir ?
ÇÖZÜM
Olaylar bağımsız olduğundan
1. kez sarı gelmesi olayı:
P(A)=3/6=1/2
2. kez sarı gelmesi olayı:
P(B )=3/6=1/4 olduğundan
p(A∩B )=P(A).P(B )
=1/2.1/2=1/4 bulunur.

SORU 39: 4 erkek ve 5 kız arasından en az biri kız olmak şartıyla 3 kişilik bir grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir. ?
ÇÖZÜM
Oluşturulabilecek tüm 3’lü grupların sayısı
C(9,3)=9!/(3!.6!)=84
İçinde hiç kız bulunmadan oluşturabileceğimiz sadece yani erkeklerden oluşan üçlü grup sayısı
C(4,3)=4!/(3!.1!)=4
İçinde en az bir kız bulunan üçlü grup sayısı
84-4=80 olarak bulunur.
SORU 40:
12 öğrenci arasından 4’erli üç grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir. ?
ÇÖZÜM
I. grup 12 öğrenci arasından 4 kişi seçilerek
II. grup kalan 8 öğrenci arasından 4 kişi seçilerek
III.grup ise diğer 4 öğrenciden 4’üde seçilerek oluşturulur.
C(12,4).C(8,4).C(4,4)=34650 farklı biçimde oluşturulur.
SORU 41 : A={1,2,3,4,5,7} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında,
a) 1 bulunur ?
b ) 1 ve 2 bulunur ?
c) 1 veya 2 bulunur ?
ÇÖZÜM
a) İstenen alt kümenin bir elemanı belirli olduğuna göre diğer iki eleman kalan sayılar arasından seçilir.
Kümemizde toplam 6 eleman var. 1 tanesi belirli olduğundan 5 elemandan 3-1=2 eleman seçeriz.
C(5,2)=10 olarak bulunur.
b ) Seçilmesi istenen 2 eleman belirli olduğuna göre, Diğer eleman kalan kümeden seçilir.
6 elemanımız vardı 6-2=4 elemandan 1 tanesi C(4,1)=4 farklı şekilde olur.
c) 3 elemanlı oluşturabileceğimiz tüm gruplardan 1 ve 2 elemanı dışında kalan 3 elemanlı alt kümelerin oluşturduğu 3 elemanlı alt kümeler çıkarılırsa istenilen şart sağlanır.
C(6,3)-C(4,3)=16 olur.
SORU 42: 20 öğrenci arasından bilgi yarışması için 3 öğrenci ve bu öğrenciler arasından bir sözcü seçilecektir.
Kaç farklı seçim yapılabilir?
ÇÖZÜM
20 öğrenci arasından seçeceğimiz 3 öğrenci ;
C(20,3)=20.19.18/3.2.1=1140 farklı şekilde seçilebilir.
Bu 3 öğrenci arasından 1 öğrenci de,
C(3,1)=3 farklı şekilde seçilebilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre
C(20,3).(C(3,1)=1140.3=3420 farklı şekilde yapılabilir.
SORU 43 : 12 kişinin bulunduğu bir grupta herkes birbiri ile tokalaşmaktadır.
Buna göre, bu grupta yapılan tokalaşmaların sayısı kaçtır ?
ÇÖZÜM
Bir tokalaşma için 2 kişi gereklidir. Bu toplantıda 12 kişi olduğuna göre toplantıda yapılan tokalaşma sayısı
C(12,2)=12.11/2.1=66 olur.
SORU 44: Düzlem üzerinde bulunan 6 farklı doğru en çok kaç farklı noktada kesişir ?
ÇÖZÜM
Farklı iki doğru en çok bir noktada kesiştiğine göre 6 doğrunun aralarında oluşturabilecekleri tüm ikililerin sayısı
C(6,2)=6!/2!.4=15’tir.
SORU 45 : Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlem üzerinde 7 farklı nokta veriliyor.
a) Bu noktalardan ikisinden geçen en çok kaç farklı doğru çizilebilir ?
b ) Köşeleri bu noktalar üzerinde bulunan en çok kaç üçgen çizilir ? ÇÖZÜM

a) Bir doğru iki farklı noktadan geçer. Buna göre 7 nokta
C(7,2)=7.6/2.1=21 tane doğru belirtir.
b ) Bir üçgen üç farklı doğrusal olmayan noktaların birleştirilmesi şeklinde tanımlanır.
7 nokta ile ,
C(7,3)=7.6.5/3.2.1=35 tane üçgen oluşturulur.

SORU 46: Bir çember üzerindeki 7 farklı noktayı köşe kabul eden en fazla kaç üçgen çizilebilir ?
ÇÖZÜM
Bir üçgen 3 nokta belirtir. Çember üzerindeki 7 noktadan en fazla
C(7,3)=7.6.5/3.2.1=35 olur.
SORU 47: 10 soruluk bir sınavda öğrencilerden 7 soruya cevap vermeleri isteniyor.
Sınava giren bir öğrenci kaç farklı seçim yapabilir. ?
ÇÖZÜM
10 elemanlı bir kümenin 7 elemanlı alt kümeleri sayısı isteniyor C(10,7)=10.9.8/3.2.1=120 bulunur.
SORU 48: Ayşe ve Alinin aralarında bulunduğu 8 kişilik bir gruptan 4 kişi seçilecektir.
Ayşe ve Ali seçilsinler ya da seçilmesinler birlikte olmaları gerektiğine göre, kaç farklı şekilde seçim yapılabilir?
ÇÖZÜM
Çözümü 2 adımda yapalım:
1. adım:
Ayşe ve Ali seçilen gruptalar ise seçilecek diğer iki kişiyi
C(8-2,4-2)=C(6,2)=6.5/2.1=15 şekilde belirleriz.
2.adım:
Ayşe ile Ali seçilecek gruba dahil edilmezse seçilecek 4 kişi diğer kalanlar arasından seçilir.
C(8-2,4)=C(6,4)=15 farklı şekilde belirlenir.
Bu iki durum toplama ile sayma kuralına göre istenilen koşula göre,
15+15=30 farklı şekilde seçim oluşturur.

SORU 50 : 2 zar birlikte atıldığında, toplamlarının çift sayı olduğu bilindiğine göre, çarpımlarının 5’ten küçük olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM
toplamları çift olan durumlardan çarpımları 5 ten küçük olanların sayısı
11,13,31,22 olmak üzere 4 tanedir
4/18=2/9 olur

SORU 51 : Bir torbada üzerinde 0dan 9a kadar rakamların yazılı olduğu 10 tane bilye vardır.Torbadan rastgele çekilen bilyenin üzerindeki sayı çift ise torbaya atılıyor, tek ise atılmıyor. Buna göre, torbadan 2 bilye çekildiğinde çekilen 2. bilyenin üzerindeki sayının tek sayı gelme olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM
ilk çekilen tekse ihtimal 1/2 , ikincinin tek gelme olasılığı 4/9 olur
ilk çekilen çiftse ihtimal 1/2 , ikincinin tek gelme olasılığı 5/10 olur
sonuçta sorulan ihtimal de (1/2)(4/9)+(1/2).(5/10)=17/36

SORU 52 : Her birinin üzerinde 1den 12ye kadar sayılardan biri yazılı olan 12 top arasından rastgele 2 top alınıyor.Buna göre, topların üzerindeki sayıların ikisinin de asal sayı olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM
1 den 12 ye kadarki asal sayıların sayısı 5 (2,3,5,7,11)
ilkinin asal olması ihtimali 5/12
ikincinin asal olma ihtimali de 4/11 (ilki asal geldikten sonra)
sorulan ihtimal de 5.4/(12.11)=5/33
SORU 53 : A={-2,-1,2,5,8 } kümesinden 3 sayı seçiliyor.Bu sayıların çarpımının pozitif olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM
3 sayının çarpımı ancak çift sayıda negatif içermesiyle mümkündür.
tek sayıda negatif içrenleri tümünden çıkaralım (böyle daa kolay gözüküyor)
C(5,3)=10 tüm durumların sayısı
C(2,1)=2 şekilde negatif sayı , C(3,2)=3 şekilde pozitif sayı seçebiliriz , toplam 2.3=6 negatif çarpım yani 4 pozitif çarpım elde edilebilir.
toplam olasılık da 4/10=2/5 olur.

SORU 53 : 8 farklı matematik ve 6 farklı fizik kitabının bulunduğu bir kutudan 3 kitaplık bir set oluşturulacaktır.Oluşturulan setin içinde en çok bir matematik kitabı bulunma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM
sadeleştirmeden sonra sonuç 5/13

SORU 54 : Bir E örnk uzayında iki olay A ve B olmak üzere, P(A)=5/8 , P(B’)=5/6 , P(A∩B )=1/4 olduğuna göre, P(A∪B ) kaçtır?
ÇÖZÜM
P(A∪B )=P(A)+P(B )-P(A∩B )=(5/8 )+(1/6)-(1/4)=13/24

SORU 55 : İki torbadan birincisine 0,1,2,3,4,5 rakamlarının yazılı olduğu 6 kart, ikincisine ise 0,1,2,3,4 rakamlarının yazılı olduğu 5 kart konuluyor. Bu torbalardan rastgele birer kart çekiliyor.
Çekilen bu iki kartın üzerinde yazılı rakamların toplamının 6 veya 6 dan az olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM
P(toplam≤6)=1-P(toplam≥7)=1-P(toplam=7,8,9)
=1-P((3,4),(4,3),(5,2))-P((4,4),(5,3))-P((5,4))
=1-3/30-2/30-1/30=24/30=4/5

SORU 56 : Yazı gelme olasılığı tura gelme olasılığının 2 katı olan bir madeni para art arda 3 defa atılıyor.Buna göre paraların tura, tura, yazı sırasında gelme olasılığı kaçtır ?
ÇÖZÜM
(1/3)(1/3)(2/3)=2/27

SORU 57 : Bir zar art arda 3 kez atılıyor.Buna göre üst yüzüne her defasında farklı gelme olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM
Birinci atış: tüm yüzleri üste gelebilir. 6/6

İkinci atış: İlk gelen sayının dışında kalan 5 sayıdan biri gelebilir. 5/6
Üçüncü atış: İlk iki sayı dışında kalan 4 sayıdan biri gelebilir. 4/6

Sonuç: 1. 5/6.4/6=5/9

SORU 58 : . A=(0,1,2,3) kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek 3 basamaklı tüm doğal sayılar ayrı ayrı kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor.Buna göre torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının tek olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM
A={0,1,2,3}

Tüm üç basamaklı sayılar: 3.4.4=48 tane
Üç basamaklı tek sayılar:3.4.2=24 tane
24/48=1/2

SORU 59 : 123344 sayısındaki rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 basamaklı bütün farklı doğal sayılar ayrı ayrı kartlara yazılıp bir torbaya atılıyor.Bunagöre, torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının 2 ile başlayıp 1 ile biten bir sayı olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM
6 basamaklı tüm sayılar: 6!/2!.2! =180

2 ile başlayıp, 1 ile bitenler: 4! /2!.2! =6
6/180=1/30

SORU 60 : iki zar ile üç madeni para aynı anda atılıyor.zarların üst yüzüne gelen sayılardan en az birinin çift sayı,paraların ise en çok birinin yazı gelmesi olasılığı nedir?
ÇÖZÜM : T=tek Ç=çift dersek bizden ÇT+ÇÇ durumları isteniyor
ÇT=1/2.1/2.2=1/2
ÇÇ=1/2.1/2=1/4

1/2+1/4=3/4 çıkar
madeni paralara bakalım Y=yazı T=tura dersek bizden YTT+TTT durumları isteniyor
YTT=1/2.1/2.1/2.3!/2!=3/8 TTT=1/2.1/2.1/2=1/8
3/8+1/8=4/8=1/2 zarda bulduğumuz ile bunu çarpıcaz 3/4.1/2=3/8

SORU 60 : Bir torbada farklı 5 yesil ve 2 beyaz Bilye vardır.
Torbadan rastgele alınan iki Bilyenin birincisinin yesil
İkincisinin beyaz olma ihtimali kaçtır
ÇÖZÜM
C(5,1).C(2,1)/(7,3) .1/2! = 5/21

SORU 61 : Bir torbada 3 beyaz 4 sarı ve 5 mavi Bilye vardır.
Torbadan rastgele alınan uç Bilyenin birincisinin beyaz
İkincisinin sarı ve üçüncüsününde mavi olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM
Toplamda 12 top var.
Bu toplardan 1.sinin beyaz gelme olasılığı 3/12
2.sinin sarı gelme olasılığı 4/11 (11 olmasının nedeni önceden 1 top çektiğimiz için geri 11 top kaldı.)
Aynı şekilde 3.nün mavi gelmesi olasılığı da 5/10 dur.
Bunları çarparsak: 3/12.4/11.5/10 = 1/22 çıkar

SORU 62 : 12 kişilik bir grup içerisinden rastgele seçilen 5 kişi,5 sandalyeden oluşan bir sıraya rastgele oturtuluyor.Yasin ve Emircan bu 12 kişiden ikisi ise, yan yana oturtulmuş olma olasılığı nedir ?
ÇÖZÜM
C(10,3).4!.2!/(C(12,5).5!)
10.9.8.4.2/(12.11.10.9.8 )=4.2/(12.11)=2/33

SORU 63 : KAVRUK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 6 harfli anlamlı yada anlamsız kaç farklı kelime oluşturulabilir?
ÇÖZÜM
Tekrar eden 2 tane K harfi var, toplam 6 harf var.
Öyleyse cevap 6!/2!=360 olmalıdır.

SORU 64 : KIRIKKALE kelimesindeki harfler kullanılarak K harfi ile başlayıp E harfi ile biten 9 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
ÇÖZÜM
Bir K harfini başa, bir E harfini sona yazdık.
Geri kalan harfleri ortaya, bir önceki sorudaki gibi sıralamalıyız.
Geri kalan harfler IRIKKAL,
2 tane K,
2 tane I harfi var.
Toplam 7 harf var.
Öyleyse sıralamamız, 7!/2!.2!=1260 farklı şekilde yapılabilir.

SORU 65 : Bir öğrenci 5 i aynı saatte okutulan 9 seçmeli dersden 3 ünü kaç farklı şekilde seçebilir?
ÇÖZÜM
Aynı saatte olmayan 4 taneden 3 tanesini seçebilir. C(4,3)=4 farklı seçim.
Aynı saatte olmayan 4 taneden 2 tanesini + Aynı saatte olanlardan birini seçebilir. C(4,2).C(5,1)=30
Toplam seçim sayısı 4+30=34 olacaktır.

SORU 66 : Anne , baba ve farklı yaşlardaki 5 çocuktan oluşan 7 kişik bir aile yuvarlak bir masa etrafında oturacaktır. Buna göre büyük çocuk anne ile babanın arasında oturmak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler?
ÇÖZÜM
n farklı kişi, yuvarlak bir masa etrafında (n-1)! farklı şekilde oturabilir.
Soruda Anne, Baba ve Büyük çocuk için kısıtlama getirildiğinden bu üçlüyü tek kişi gibi düşünelim,
Bir de 4 tane çocuk var.
5 kişiyi dairesel masa etrafına 4! farklı şekilde dizeriz.
Anne ile Baba kendi aralarında 2! farklı şekilde yer değiştirebilir.
Toplam dizilim 4!.2!=48 olacaktır.

SORU 67 : 6 adet 100 TL lik banknot, 4 işçiye dağıtılacaktır. işçilerin ellerindeki para miktarı bakımından kaç farklı durum oluşabilir?
ÇÖZÜM
6 elmayı 4 çocuğa dağıtma gibi düşünebilirsiniz
C(9,3)=9.8.7/6=84

SORU 68 : Bir yüksekokulda 8 dersten 2 si aynı saatte, 3 ü bunlardan farklı birbirleriyle aynı başka bir saatte verilmektedir. diğerlerinin saatleri bunlardan ve birbirlerinden farklıdır. Buna göre bir öğrenci 8 dersten 3 tanesini kaç değişik şekilde seçebilir?
ÇÖZÜM
ikisi aynı saatte olanlara A diyelim , üç tanesi aynı saatte olnlara B diyelim diğerlri de C grubu dersler olsunlar
CCC , ACC , BCC , ABC şeklinde dersler seçilebilir
CCC – 1 durum
ACC – 2.C(3,2)=6 durum
BCC – 3.C(3,2)=9 durum
ABC – 2.3.C(3,1)=18 durum
toplamda 34 değişik durum.

SORU 69 : Üç basamaklı doğal sayıların kaç tanesinin onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan küçük, birler basamağındaki rakamdan ise büyüktür?
ÇÖZÜM
C(10,3)=10.9.8/6=120

SORU 70 : Beş farklı çember en çok kaç noktada kesişir?
ÇÖZÜM
C(5,2).2=20

SORU 71 : 3 ü birbirine paralel 12 tane doğrunun kesişmesiyle en fazla kaç üçgen oluşur?
ÇÖZÜM
C(9,2).C(3,1)+C(9,1).C(3,2)+C(9,3)=219

SORU 72 : A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanlar toplamı çift sayıdır?
ÇÖZÜM
toplamın çift olması için çift sayıda tek sayı içermelidir
0 tek sayı için C(4,3)=4 durum
2 tane tek sayı için C(5,2).C(4,1)=10.4=40 durum
toplam 44 tane altkümenin eleman toplamı çift sayıdır.

SORU 73 : A={1,2,3,4,5,7} B={0,1,2,4,6,8,9}
A kümesinden iki tane tek , B kümesinden bir tane çift sayı seçerek rakamları tekrarsız üç basamaklı kaç tane sayı yazılabilir ?
ÇÖZÜM
4 tek sayıdan 2 si seçilir C(4,2)=6
5 çift sayıdan 0 seçilmişse eldeki bu 3 sayı sıfır başka gelmeyeceğinden 4 şekilde sıralanabilir , 4.6=24
5 çift sayıdan sıfır olmayan biri seçilirse eldeki 3 sayı 3!=6 şekilde sayı oluşturabilir, 4.6.6=144
toplam 144+24=168 durum
SORU 74 : {a,b,c,d,e,f,g} kümesinin permütasyonlarından kaç tanesinde a veya b den yalnız biri bulunur. ?
ÇÖZÜM
a,b bi kenara ayrılır kalandan 2 eleman seçilir C(5,2)=10
a,b den 1 tanesi seçilir C(2,1)=2
eldeki bu 3 eleman sıralanır 3!=6
10.2.6=120

SORU 75 : A={1,3,5,7,9} B={2,4,6,8} kümeleri veriliyor. Bu kümelerden alınan 2 tek ve 2 çift sayı ile 4 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir ?
Çözüm
2 tek sayı seçeriz , C(5,2)=10
2 çift sayı seçeriz , C(4,2)=6
eldeki 4 sayıyı sıralarız 4!=24
toplam 10.6.24=1440 sayı

SORU 76 : a<b<c koşulunu sağlayan kaç farklı abc sayısı vardır?
ÇÖZÜM
C(9,3)=84

SORU 77 : 7 kişilik bir gruptan biri 4 diğeri 3 kişilik iki farklı ekip oluşturulacaktır ancak belli 2 kişi aynı ekipte bulunmak istememektedir. Bu koşula uyan iki ekip kaç farklı şekilde seçilebilir ?
ÇÖZÜM
C(7,4).C(3,3)=35
2 kişiyi 4 kişilik grupta gibi düşünelim;
C(5,2).C(3,3)=10
2 kişi 3 kişilik gruptaysa.
C(5,1).C(4,4)=5
35-(10+5)=20 bulunur.

SORU 78 : 8 farklı tokanın 5 i Aylin’e, 3 ü Zeynep’e verilecektir.
Bu olay kaç farklı şekilde gerçekleşebilir?

ÇÖZÜM
C(8,5)= C(8,3) = 8.7.6 / 3! = 56

SORU 79 : Bir gruptaki 11 kişiden 2 si Erzurum’a, 4 ü Rize’ye, 5’i Manisa’ya gidecektir.
Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
ÇÖZÜM
C(11,2). C(9,4). C (5,5)
= 11.10/2! . 9.8.7.6/4! . 1 = 6930

SORU 80 : Aralarında Tamer ve Melike’nin de bulunduğu bir izci grubunda 8 erkek arasından 4 erkek, 6 kız arasından 3 kız seçilerek bir öncü ekip oluşturulacaktır.
Melike, öncü ekipte Tamer’le birlikte olmak istemediğine göre kaç farklı öncü ekip oluşturulabilir?
ÇÖZÜM
Bu soruyu iki farklı şekilde düşüneceğiz. Birinci düşüneceğimiz Tamer’i seçtiğimizde ne kadar grup oluşacağı, ikinci düşüneceğimiz Tamer’i seçmediğimizde oluşacaklar.
a) Tamer’i kesin seçersek
Geriye 7 erkek kaldı burdan 3 tane seçeceğiz.
C(7,3)
6 kızdan 3 kız seçeceğiz. Ama Melike’yi seçemeyeceğimizden ;
C(5,2)
= C(7,3). C(5,2)
= 7.6.5/ 3! . 5.4 / 2! = 350
b) Tamer’i kesinlikle seçmezsek
C(7,4) şekilde erkekleri seçebiliriz.
Kızlar arasından şimdi Melike de seçilebilir = 7.6.5/ 3! . 6.5.4 /3! = 700
700 + 350 = 1050

SORU 81 : A, B, C birer rakam olmak üzere,
A > B > C
şartını sağlayan rakamları farklı kaç tane dört basamaklı 9ABC doğal sayısı vardır?

ÇÖZÜM
C(9,3) = 9.8.7/ 3! = 84

SORU 82 : Kamil ile Seyfi’nin de aralarında bulunduğu 6 kişi, bir apartmandaki biri 4 kişilik diğeri 2 kişilik iki asansöre aynı anda binecektir.
Kamil ve Seyfi aynı asansörde bulunmamak şartıyla bu 6 kişi asansöre kaç farklı şekilde binebilir?
ÇÖZÜM
C(4,3). C(1,1). 2! = 8

SORU 83 : 6 doktor ve 8 hemşire arasından 4 kişilik bir ekip oluşturulacaktır.
Bu ekipte en az 1 doktor olmak koşuluyla, kaç farklı ekip oluşturulabilir?
ÇÖZÜM
C(14,4)- (8,4)

SORU 84 : 6 sporcu, kendi aralarında 3 er kişilik iki gruba kaç farklı biçimde ayrılabilir?
ÇÖZÜM
C(6,3). C (3,3) = 20

SORU 85 : Aynı renkteki bilyeler özdeş olmak üzere, 4 beyaz ve 6 kırmızı bilye, beyaz bilyelerin herhangi ikisi yan yana olmamak şartıyla, bir sırada kaç farklı biçimde dizilebilir?
ÇÖZÜM
7.6.5.4 / 4! = 35 farklı şekilde dizilebilir.

SORU 86 : Bir düzlemde 4 ü doğrusal olan 7 farklı nokta veriliyor.
Bu noktaları birleştirerek en fazla kaç doğru elde edilebilir?

ÇÖZÜM
C(7,2)- (4,2) + 1 = 16

SORU 87 : A=(0,1,2,3,4,5)
rakamları kullanılarak a>b>c koşulunu sağlayan üç basamaklı kaç tane abc doğal sayısı yazılabilir?

ÇÖZÜM
C(6,3)=20

SORU 88 : Aynı düzlemde bulunan 8 farklı doğrudan 4 ü paraleldir. Bu 8 doğrunun en fazla kaç kesişme noktası vardır?
ÇÖZÜM
Toplam 8 doğrudan C(8,2)=28 kesişim noktası luşabilir ama bunlardan 4 tanesi paralelmiş yani oluşabilecek C(4,2)=6 kesişim noktası hiç olmayacakmış öyleyse en fazla 28-6=22 kesişim noktası olabilir.

SORU 89 : A={2,6,8} B={2,3,4,5,6,7,8}
olmak üzere A kümesinin en az 2 elemanını kapsayan B kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır?
ÇÖZÜM
2⁴.C(3,2)+2⁴.C(3,3) = 16.3+16=48+16= 64 tane B kümesi yazılabilir.

SORU 90 : 6 Farklı oyuncak 5 kişiye dağıtılacaktır.Herkese en az 1 oyuncak vermek koşuluyla kaç farklı dağıtım yapılabilir ?

ÇÖZÜM
1.Kişi için C(6,1)=6
2.kişi için C(5,1)=5
3.kişi için C(4,1)=4
4.kişi için C(3,1)=3
5.Kişi için C(2,2)=1
6.5.4.3=360.5!/4! kadar olur.

SORU 91 : .A=(1,2,3,4,5,6) kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2den yanlız biri bulunur..?
ÇÖZÜM
1 Bulundurup 2 bulundurmayanlar için , C(4,2)=6
2 Bulundurup 1 bulundurmayanlar için , C(4,2)=6
6+6=12 Olacaktır.

SORU 92 : B={1,2,3,4,5,6,7,8} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur ?
ÇÖZÜM
C(6,2)=6.5/2=15 olur.

SORU 93 : n>1 ve n sayma sayısıdır.
P(n,2) / P(n,1) = (n-1)! olduğuna göre, n’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM
n.(n-1)/n=(n-1)!
(n-1)=(n-1)!
(n-1)=(n-1).(n-2)!
(n-2)!=1 olur.
n-2=0 ve n-2=1 olabilir.
n=2 ve n=3 olur. 2+3=5 olur.

SORU 94 : A’dan B’ye gidilebilen 3, B’den C’ye gidilebilen 2 ve A’dan da C’ye gidilebilen 2 farklı yol vardır. Buna göre, A’dan C’ye kaç farklı yoldan gidilebilir?

ÇÖZÜM
2.3+2=8

SORU 95 : 4 seçenekli 10 sorudan oluşan bir test için kaç farklı cevap anahtarı oluşturulabilir?

ÇÖZÜM
410=(22)10=220 olur.


SORU 96 : Birbirlerinden farklı; 5 matematik ve 3 fizik kitabı yan yana bir rafa dizilecektir. Fizik kitaplarının hepsi birden bir arada olmamak şartıyla bu 8 kitap kaç farklı şekilden sıralanabilir?

ÇÖZÜM
8!-6!.3!=8.7.6!-6!.6=6!.(56-6)=50.6! olur.


SORU 97 : 10 atletin katıldığı bir yarışta 1.2. ve 3. lük sıralaması en çok kaç değişik biçimde sonuçlanabilir?

ÇÖZÜM
P(10,3)=10.9.8=720

SORU 98 : Birbirinden farklı 5 matematik , 5 fizik ve 4 geometri kitabı arasından 1 matematik 1 fizik 1 geometri kitabı kaç farlı şekilde seçilebilir?

ÇÖZÜM
Her birinden birer tane seçeceğimize göre her birinin 1’li permütasyonunu bulup çarpacağız:
P(5,1),P(5,1).P(4,1)=100

SORU 99 : Bir çocuk birbirinden farklı modelleri olan,8 matematik 6 kırmızı 2 sarı renkteki oyuncak arabalardan 4 ü mavi, 3 ü kırmızı , 1 i sarı renk olan araba seçiyor . Çocuk , seçimini kaç farklı biçimde yapabilir ?

ÇÖZÜM

C(8,4).C(6,3).C(2,1)=2800

SORU 100 : 10 farklı kitap 3 farklı koli kutusundan birincisine 5 tane, ikincisine 3 tane ve üçüncüsüne 2 tane olmak üzere konulacaktır .Bu işlem kaç değişik biçimde yapılacaktır ?

ÇÖZÜM
Önce ilk koliye koyacağımız 5 kitabı seçeriz: C(10,5)=252
Sonra geriye kalan 5 kitaptan 3 tanesini seçeceğiz: C(5,3)=10
Ve geriye kalan 2 kitabı seçeceğiz: C(2,2)=1
Şimdi de bu değerleri çarparız:
252.10.1=2520

SORU 101 : 5 mimar ve 6 teknisyen arasından 4 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Belli bir mimar ve belli bir teknisyen ekiplerde birlikte görev almak istemediklerine göre bu ekip kaç değişik biçimde kurulabilir ?

ÇÖZÜM
C(7,3)=35
35.2=70 farklı şekilde seçilir.

SORU 102 : Matematik kelimesindeki harflerin yerlerini değiştirerek;
a ) 9 harfli anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir?
b ) Bunların kaç tanesinde sesli harfler hep yan yana gelir?

ÇÖZÜM
a) 9!/2!.2!.2!
b ) aaei tek harf gibi düşünülürse aaei ve diğer 5 harf olmak üzere 6 harf olur
6!.4!/2!.2!.2!

SORU 103 : 55003333 sayısının rakamlarının yerleri değiştirerek 8 basamaklı kaç sayı yazılabilir?

ÇÖZÜM
8!/2!.2!.4! olur

SORU 104 : A={1,2,5,8} elemanları ile yazılabilecek rakamları farklı doğal sayılardan kaç tanesi 4’ün tam katıdır?
ÇÖZÜM

1 basamaklılarda 1 tane (8 )
2 basamaklılarda 3 tane (12,28,52)
3 basamaklılarda 2.3=6 tane
4 basamaklılarda 2.1.3=6 tane
Toplam=1+3+6+6=16

SORU 105 : )A={a,b,c,d,e,f} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde “a” vardır , “d” yoktur?

ÇÖZÜM
3!.C(4,2)=6.6=36

SORU 106 : 5 farklı fizik,3 farklı kimya kitabı arasından 1 fizik veya 1 kimya kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir?

ÇÖZÜM
5+3=8

SORU 108: A={a,b,c,d,e,f} kümesinin elemanlarının 3 lü permütasyonları sayısı nedir?

ÇÖZÜM
(6,3) = 120

SORU 109 :A={1,2,3,4,5,6,7} kümesinin 4 erli permütasyonları kaç tanesinde ”5” elemanı bulunmaz?

ÇÖZÜM

(6,4)=360

SORU 110 : A={1,3,5} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı yazılabilen 3 basamaklı sayıların toplamı nedir?

ÇÖZÜM
135+153+351+315+513+531=1998

SORU 111: Bir torbada 4 beyaz 6 siyah top vardır. Beyaz toplar 1 den 4e kadar, siyah toplar 1 den 6 ya kadar numaralandırılmıştır.
Torbadan rastgele 2 top çekildiğinde çekilen topların aynı renkte veya aynı numaralı olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM

[C(4,2)+C(6,2)+4]/C(10, 2) = 25/45 = 5/9

SORU 112:
Şekildeki 7 noktadan 5 tanesi doğrusaldır. Bu noktalar kullanılarak oluşturulan üçgenlerden rastgele seçilen bir üçgenin sadece bir köşesinin çember üzerinde olma olasılığı kaçtır?


ÇÖZÜM

C(2,1).C(3,2)=2.3=6 olur


SORU 113: Aralarında İnci ve Ahmet’inde bulunduğu 8 kişilik bir öğrenci grubundan 3ü Paris’e 2 si Bangladeş’e kalanlarda Hakkâri’ye gidecek şekilde üç gezi grubu oluşturulacaktır.
İnci ve Ahmet eski sevgili oldukları için aynı grupta olmak istememektedir. Bu şartla bu gruplar kaç değişik şekilde oluşturulabilir?

ÇÖZÜM

tüm durumların sayısı C(8,3).C(5,2).C(3,3)=8.7.6.5.4/(3.2.2)=560 olur
bunlardan bu iki kişinin aynı gruba düştüğü durumları çıkaralım
Paris grubunda iseler C(6,1).C(5,2)=6.10=60 durum
Bangladeş grubundaysalar C(6,3)=20 durum
Hakkari grubundaysalar Paris’le simetriktir 60 durum
560-60-60-20=420 olur.

SORU 114: 5 kişi 1 sandalye , 1 koltuğa kaç değişik şekilde oturabilir ?

ÇÖZÜM
C(5,2).C(2,1).C(1,1)=20

SORU 115: A=(2,3,4) elemanlarıyla tekrarsız 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir ?

ÇÖZÜM
3.2.1=6

SORU 116: Kalem kelimesinin harfleriyle anlamlı ve anlamsız harfleri farklı 5 harfli kaç kelime yazılabilir ?


ÇÖZÜM
1.2.3.4.5=5!=120

SORU 117: 10 kişinin katıldığı bir yarışmada birinciye ikinciye ve üçüncüye ödül verilecektir. Beraberlik düşünülmeden kaç değişik şekilde verilebilir?

ÇÖZÜM
310 değişik şekilde ödül verilebilir. Çünkü Herkes için 3 durum oluyor


SORU 118: Bir ilin telefon numaraları 7 basamaklı doğal sayılardır. Rakamları farklı kaç numara verilebilir?

ÇÖZÜM
9.8.7.6.5.4.3=9!-2! bulunur.

SORU 119: “12345” sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek oluşturulan beş basamaklı doğal sayıların kaç tanesinin birler basamağındaki rakam “2”dir?

ÇÖZÜM
Birler basamağına 2 yi sabitleriz. Geriye 4 rakam kalır. Oda 4! ‘dir .


SORU 120: “0,1,7,9,6,4” rakamları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı tek doğal sayı yazılabilir?

ÇÖZÜM
4.4.3 =48 tane .

SORU 121: “BERBER” kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılabilecek, 6 harfli anlamlı yada anlamsız kelimelerin kaçı sessiz harfle başlar?

ÇÖZÜM
(4.5.4.3.2.1) /2!.2!.2! = 60

SORU 122: Enes ve ardanın da aralarında bulunduğu 7 kişi: 3 ve 4 kişilik odalara yerleştirilecekler. Enes ve arda farklı odalarda bulunması gerektiğine göre bu yerleşim kaç farklı şekilde yapılabilir ?

ÇÖZÜM
C(7,4)-C(5,2)-C(5,1)=20

SORU 123: Birbirinden farklı 11 kitap arasından önce 6 kitap seçiliyor. Daha sonra bu 6 kitap arasından da bir kitap seçiliyor.
Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

ÇÖZÜM
C(11,5).C(6,1)=2772

SORU 124: 5 matematik öğretmeni 2 fizik öğretmeni 4 kimya öğretmeni arasından 3 kişi seçilecektir En fazla bir fizik öğretmenin olduğu seçim kaç farklı şekilde yapılır ?


ÇÖZÜM
2 fizikçi seçersek bunların yanına bir öğretmen daha seçmemiz gerekir. geriye 9 öğretmen olduğuna göre;
C(9,1)=9 bu 9 durum işimize yaramayan durumlar bunları çıkaracağız.
toplam 11 kişi var, 3 kişiyi;
C(11,3)= 165 olur. 9 durumu çıkaralım;
165-9=156 olur.


SORU 125: 6 kız 6 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıftan 6 kişi seçilecektir

grupta 3 erkek 3 kız olacağına göre kaç farklı seçim yapılabilir?

ÇÖZÜM

C(6,3).C(6,3)=20.20=400

SORU 126: Bir bayram sabahı güler ve ailesi bayramlaştıklarında en çok 21 tokalaşma gerçekleşmiş ise bu aile kaç kişiden oluşur?

ÇÖZÜM

Tokalaşma iki kişi arasında olacağına göre;
C(n,2)=21 olur.
n(n-1)/2=21 ve n(n-1)=42
n=7


SORU 127: Bir düzlemde herhangi ikisi birbirine paralel olmayan 10 doğru en çok kaçfarklı noktada kesişir?

ÇÖZÜM

C(10,2)=45 tane kesişim noktası oluşacaktır. Bu sayı da oluşacak en fazla kesişim noktasını verir.

SORU 128: A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı yazılabilen çift doğal sayıların kaç tanesinin basamaklarından biri 5 tir?

ÇÖZÜB
C(3,1).C(4,2)=18
C(4,3)=4
18+4=22

SORU 129: Bir dondurmacıda 5 farklı dondurma çeşidi bulunmaktadır.
Aylin bu dondurmacıdan 3 çeşit dondurma almak istiyor . Aylin kaç farklı seçim yapabilir?

ÇÖZÜM
C(5,3)=10

SORU 130: : Bir dondurmacıda 5 farklı dondurma çeşidi bulunmaktadır. Aylin bu dondurmacıdan 3 çeşit dondurma almak istiyor. Dondurmaların seçiminde sıranın önemli olması durumunda kaç farklı seçim yapılabilir?

ÇÖZÜM
P(5,3)=60

SORU 131: 4 kız öğrenci,5 erkek öğrenci arasından 3 kişilik beşer grup seçilecektir.
En fazla 2 erkek öğrenci bulunduğu grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

ÇÖZÜM
C(9,3)-C(5,3)=74

SORU 132: A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanlar toplamı çift sayıdır?

ÇÖZÜM
0 tek sayı için C(4,3)=4 durum
2 tane tek sayı için C(5,2).C(4,1)=10.4=40 durum

SORU 133: Beş farklı çember en çok kaç noktada kesişir?

ÇÖZÜM
C(5,2).2=20

SORU 134: A={ a,b,c,d,e,{e},{f} }
B={ b,c,{e},e,d,{a},{{f}} }
AnB kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde ”e” elemanı vardır?

ÇÖZÜM
C(4,2)=6 olur

SORU 135: 4 tane beyaz ve 3 tane mavi gömlek düz bir ipe asılacaktır.2 tane mavi gömlek yan yana gelmemek üzere gömlekler kaç farklı şekilde asılır?

ÇÖZÜM
C(5,3)=10 olur

SORU 137: 3 madeni para, aynı anda atılıyor. Her 3 paranın aynı yüzünün gelme olasılığı nedir?

ÇÖZÜM
Yazı=y
Tura=t olsun;
yyy ya da ttt gelmesi isteniyor.
yyy gelme olasılığı=(1/2).(1/2).(1/2)=1/8
ttt gelme olasılığı gene aynı şekilde 1/8 dir.
yyy veya ttt gelme olasılığı=1/8+1/8=2/8=1/4 olur.

SORU 138: 10 kız ve 15 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıftan nöbetçi olacak öğrencileri belirlemek için arka arkaya rastgele iki kişi seçiliyor. İki öğrencinin de kız olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM
Toplam 25 kişi arasından seçilen 1 kişinin kız olma ihtimali = 10/25
Kalan 24 kişi arasından 1 kız daha seçelim. Bu sefer 9 kız kaldı = 9/24
Bu ikisini çarparak artarda seçilen 2 kişinin kız olma olasılığını bulalım = 10/25.9/24=3/20

SORU 139: 4 evli çift arasından seçilen 3 kişiden ikisinin evli çift olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM
Tüm durumlar : C(8,3)=56
istenen durum : C(4,1).C(6,1)=4.6=24 olur.


SORU 140: 6 doktor, 4 hemşire arasından rastgele seçilen 4 kişiden 2’sinin doktor 2’sinin hemşire olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM
C(6,2).C(4,2)=15.6=90

SORU 141: 5 erkek 3 bayan arasından rastgele seçilen 3 kişiden 2’sini erkek, 1’inin bayan olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM
C(5,2).C(3,1)=10.3=30

SORU 142: 1 den 50 ye kadar numaralandırılmış kartlardan 25 tane seçildiğinde seçilen kartların içinde 12 ve 24 olmama olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM
Tüm 25 lilerin sayısı= C(50,25)
içinde 12 ve 24 ün olmadığı 25 lilerin sayısı= C(48,25)
istenen olasılık ise C(48,25)/C(50,25)=25.24/(50.49)=12/49 bulunur

SORU 143: 210102 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilebilecek altı basamaklı sayıların kaç tanesinin birler basamağındaki rakam 1 dir?

ÇÖZÜM
(1/3).(tüm dizilimler)=(1/3).6!/(2!.2!.2!)=720/24=30 olur.

SORU 144: A={1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla en az iki basamağındaki rakamı aynı olan dört basamaklı kaç sayı yazılabilir?

ÇÖZÜM
tüm durumlar-her rakamı farklı olanlar =54-5.4.3.2=625-120=505

SORU 145: 4 Fizik, 3 Kimya kitabı Fizik kitaplarının hiçbiri yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir?

ÇÖZÜM
FKFKFKF şeklinde sıralanır : 4.3.3.2.2.1.1=144

SORU 146: Özdeş 4’ü kırmızı,2’si beyaz olan 6 bayrak yan yana altı bayrak direğine en çok kaç farklı şekilde asılabilir ?

ÇÖZÜM
6!/4!.2!=720/48=15

SORU 147: Karadeniz kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek K ile başlamayan NİZ ile biten 9 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
ÇÖZÜM
“niz” le biten bütün kelimelerden, “k” ile başlayıp “niz” le bitenleri çıkaralım.
(6!/2!)-(5!/2!)=300

SORU 148: A={0,1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarından 3 basamaklı sayılar oluşturulacak.410’dan büyük rakamları farklı kaç tane sayı yazabiliriz?

ÇÖZÜM
411-499 arası : 1.5.5=25 tane 8(410 için 1 çıkaralım. 24)
500-699 arası : 2.6.5=60 tane
24+60=84 tane

SORU 149: Bir kentte telefon numaraları 6 rakamlıdır. İlk rakam tek tek olacağına göre bu kentte kaç farklı kişiye telefon numarası verilebilir?

ÇÖZÜM
5.10.10.10.10.10 = 500000 kişiye

SORU 150: Bir grup öğrencinin her biri diğer arkadaşlarına birer hediye veriyor. Bu hediyeleşmede toplam 90 hediye verildiğine göre, bu grupta kaç kişi vardır?

ÇÖZÜM
n.(n-1)=90 => n=10 bulunur.